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| Karl Marx ✆ Ken Mafli |
Con sus peculiaridades en las diferentes épocas y
disciplinas científicas, la matematización ha seguido en buena medida un
desarrollo espontáneo, dictado por el desenvolvimiento de la interacción entre
las necesidades de cada ciencia para profundizar en la esencia de su objeto de
estudio especifico, y las propiedades de las matemáticas. En la superación de
ese estatus de espontaneidad corresponde un importante papel al Materialismo
Dialéctico a través del análisis filosófico del fenómeno, que nos brinda
elementos para profundizar en la comprensión de las matemáticas como reflejo de
la realidad objetiva, y de lo universal presente en el modo matemático de
reflejo de esa realidad – premisas precisamente del fenómeno de la matematización
de las ciencias.
Y la mejor muestra de ello esta precisamente en la obra de
los clásicos del marxismo leninismo y su relación con las matemáticas. Quien no
rechaza esta afirmación como exagerada o , cuando menos no fundamentada, quizás
la acepte pensando en la obra cumbre de Carlos Marx: El Capital. O quizás lo haga reconociendo la autoridad de Federico
Engels – nadie mejor que él para una valoración sobre Carlos Marx – cuando
plantea en el prologo de la segunda edición de su importante obra Anti Duhring:
“Marx y yo fuimos los únicos que salvamos la dialéctica consciente de la filosofía idealista Alemana, para traerla a la concepción materialista de la naturaleza y de la Historia. Más, para enfocar a la par dialéctica y materialmente, la naturaleza, hay que conocer las matemáticas y las ciencias naturales. Marx era un concienzudo matemático”. / 2, p15/.
Mas pensar que nuestra afirmación se fundamenta solamente en
el análisis del significado de las matemáticas en El Capital o en la autoridad
de Engels, capta solo a media la realidad que dejamos implícita. Sin
pretensiones de profundos conocedores de la obra de Marx vemos en ella al menos
una faceta que, a nuestro modo de pensar, ha sido insuficientemente tratada:
Los trabajos Matemáticos de Carlos Marx y, en ellos, su labor de análisis
filosóficos de las matemáticas.
Como el propio Marx plantea, su interés por las matemáticas
surgió en relación con el trabajo durante n la elaboración de El Capital:
“Durante el análisis de las bases de la economía política me retrasan tan terriblemente los errores en los cálculos, que desesperadamente me entregue a estudiar de nuevo el álgebra. La aritmética nunca se me dio. Pero dando un rodeo algebraico yo encontré de nuevo la puntería” /1.p4/.
Pero sus resultados no resultan tan modestos como se podría
esperar de este fragmento.
Al revisar la obra publicada bajo el titulo Carlos Marx. Manuscritos Matemáticos,
nos encontramos con que los principales trabajos que en ella aparecen,
producciones del propio Marx como resultado de sus estudios matemáticos, se
refieren a temas de cálculo diferencial, aparentemente ajenos a aquello que le
había motivado a dedicarse a las matemáticas. Ya este solo hecho despierta el
interés hacia el estudio de estos materiales, para tratar de desentrañar lo que
llevo a esta mente profundamente filosófica a ocuparse de cuestiones muy
propias de los matemáticos y aparentemente lejanas a las necesidades de los
objetivos que se planteaba en su labor de investigación.
La autorizada opinión de la profesora Yanovskaya, --
redactora principal de la edición rusa de la obra, ya fallecida --, plantea
que, a la pregunta de como fue que Marx paso a dedicarse del álgebra y la
aritmética comercial al cálculo diferencial, no se halla plena respuesta ni aún
en el exhaustivo análisis de todos los trabajos, notas y resúmenes recogidos en
este libro1 . Sin que pretendamos dar respuesta a dicha interrogante, si
pensamos que la misma se encuentra precisamente a través de la comprensión del
sentido filosófico que tienen los trabajos matemáticos de Marx, de su
comprensión materialista dialéctica del lugar de las matemáticas en el reflejo
científico de la realidad.
En la carta a Engels, en la que se refiere a su amigo Samuel
Moore – con el cual sostuvo principalmente los intercambios acerca de estos
temas matemáticos – el autor de El Capital señala:
“Yo le conté aquí a Moore una historia, con la cual privatim he cargado largo tiempo. Pero él piensa que el problemas é irresoluble o, al menos, pro tempore irresoluble, a causa de muchos factores de los cuales gran parte aun debe ser descubiertos, referentes a esta cuestión. La cuestión consiste en lo siguiente: tú conoces las tablas en las que están presentados los precios, los porcientos de descuentos, etc., en el movimiento a lo largo del año, etc., en forma de líneas ascendentes y descendentes. Yo repetidamente he tratado – para el análisis de la crisis – de computar esos up and downs como curvas irregulares, pensé (y aún pienso, que con un material suficientemente verificado esto es posible) extraer matemáticamente de esto las principales leyes de la crisis. Moore, como ya dije, considera la tarea por ahora imposible de ejecutar, y yo decidí hasta cierto tiempo desistir de ella” /1, p.5/.
Marx quería analizar, de manera rigurosa, con ayuda de las
matemáticas las curvas que debían obtenerse como resultado de graficar datos
“suficientemente verificados”, acerca de parámetros económicos, para de ahí
obtener las leyes referentes a las crisis. Ya de por si resulta asombroso para
la época la intención. Pero mas aun resulta que Marx vislumbre que la
herramienta matemática que podría brindarle las posibilidades para tal análisis
es el cálculo diferencial e integral, comprendido y aplicado consecuentemente a
una profundidad que estaba fuera del alcance de los resultados del momento,
como se infiere de la atención que brindó específicamente a estos procesos
matemáticos. Esto se comprende, a nuestro modo de ver, cuando penetramos en los
estudios de Marx, y vemos en ellos no la búsqueda prosaicamente pragmática de
una herramienta, sino la profundización en su naturaleza, a partir de una
concepción filosófica del lugar de las matemáticas en el proceso del
conocimiento científico, de su modo especifico del reflejo de la realidad y,
sobre esa base, su interacción con otras ciencia particulares.
En el presente trabajo perseguimos llamar la atención de los
filósofos y científicos particulares acerca de los Manuscritos Matemáticos de
Carlos Marx, por el valor metodológico que encierran los trabajos allí
recogidos, en tanto se dirigen a comprender mas profundamente a las matemáticas
como reflejo de la realidad objetiva, a develar lo universal presente en el
modo matemático de reflejo de la realidad, a través del prisma del Materialismo
Dialectico, y contribuyen así a la aprehensión cabal de los fundamentos
objetivos del proceso de matematización de las ciencias.
La dialéctica
materialista en los fundamentos del cálculo diferencial
La obra cumbre de Carlos Marx, El Capital, es sin dudas el
máximo exponente de las posibilidades de la interacción de la Dialéctica
Materialista con la ciencia particular – la economía política. Y la riqueza de
esa interacción trasciende los marcos de su resultado principal dejándonos
aportes de consideración en lo referente a otras disciplinas, como es el caso
de las matemáticas, en cuanto a su participación en el proceso del conocimiento
científico. Donde con mayor claridad se pueden valorar esos aportes es, a
nuestro modo de ver, en los trabajos que, colateralmente con los fundamentales
para su objeto de estudio, desarrollo Marx en el campo de las matemáticas y
recogidos hoy bajo el titulo de Manuscritos
Matemáticos.
En los manuscritos matemáticos de Marx – a los cuales, que
conozcamos, se hace referencia por primera vez en el Prólogo a la segunda
Edición del Anti Duhring2 --- si bien es cierto que no se trata lo fundamental
de una obra acabada, está presente la interacción dialéctica materialista –
matemáticas dirigida esencialmente al análisis de los problemas relacionados
con la comprensión, fundamentación e interpretación del Cálculo Diferencial,
base para la consecuente y plena aplicación de esta rama de la matemática en el
estudio de la realidad.
Antes de pasar a los análisis que queremos presentar es
bueno señalar algunas cuestiones, indispensables para los mismos.
En primer lugar, en la época que Carlos Marx desarrolla los
trabajos que aparecen recogidos en los “Manuscritos…”, el Cálculo Diferencial
no contaba con la fundamentación rigurosa que hoy le conocemos. Como se señala
precisamente en el prólogo al libro, y en otras obras donde se tratan aspectos
históricos de las matemáticas y las ciencias en general, la fundamentación del
Cálculo Diferencial en la literatura de esos tiempos al alcance de Marx, no se
basaba aún en el concepto de límite – seguramente por las limitaciones del
mismo entonces.
Es precisamente por los años setenta del siglo XIX, período
al que corresponde la mayoría de los trabajos matemáticos de Marx, cuando
comienza a desarrollarse en el continente europeo el análisis matemático
clásico por Weierstrass, Dedekind y Kantor principalmente. Cierto es que los
trabajos del matemático francés Cauchy, contentivos del concepto de límite,
fueron publicados en 1823; pero Marx no conoció estos trabajos. En general, los
trabajos de los matemáticos franceses eran prácticamente desconocidos en las
universidades y medios científicos Ingleses de la época, en donde se
encontraban las fuentes de consultas de Marx.
En segundo lugar, el cálculo diferencial e integral tuvo
para las ciencias naturales, y para el quehacer científico en general, una
trascendencia que fue mucho mas allá del simple valor instrumental: permitió
desarrollar una nueva forma de aprehender en conceptos los contenidos objetivos
de la naturaleza, expresar matemáticamente la esencia de los fenómenos que en
ella tienen lugar y somete al hombre a su estudio científico. Como señala
Engels; “El cálculo diferencial y solo él, permite a las ciencias naturales
exponer matemáticamente los procesos, y no solamente los estados:
movimiento”/3,p.233/.
La unidad entre los diferentes estados por los que pasa en
su eterno movimiento la naturaleza la contradictoria unidad entre el cambio y
el reposo, entre lo continuo y lo discontinuo, lo discreto; entre lo finito y
lo infinitamente pequeño: todo esto podía aparecer ahora matemáticamente
expresado con la ayuda del cálculo diferencial e integral. Esto encierra un
profundo contenido filosófico, pues permite expresar en la interconexión de los
conceptos matemáticos aspectos esenciales de la dialéctica de la realidad
objetiva, lo que actúa como premisa esencial para el avance a escalones
superiores en la aprehensión de su comportamiento, y la actuación de su
trasformación.
Pero esto, que Engels vio, y Marx se empeño en desentrañar
en todo su alcance, no era aún una adquisición real de la comunidad científica
de la época. Y de nuevo tenemos que referirnos a Engels:
“… la mayoría de las personas diferencian e integran, no porque sepan lo que hacen, sino por pura fe, porque hasta ahora ello a sido exacto”/2,p.118/.
Por todo esto no es de extrañar que el genio universal de
Marx, genio de científico riguroso, al encontrarse con el simbolismo y la
terminología específicos del cálculo diferencial -- formas consecuentes con el
tratamiento que del mismo se hacía en la literatura que tenía a su disposición,
los libros usados en las universidades inglesas, se sintiera inconforme. Marx
aprecia que en estos símbolos no se expresaba toda la riqueza del contenido de
las operaciones por ellos representadas y plasmadas en los conceptos en uso, y
se da a la tarea de reflexionar sobre el método de cálculo, sobre su
fundamentación conceptual y sus representaciones, para tratar de hallar la
esencia, el contenido real, objetivo, que hacía de él tan poderoso instrumento
en manos del científico.
Para Marx se trata de símbolos correspondientes a procesos
reales de cálculo, que, a la vez, expresan relaciones objetivas dadas en los
objetos de estudios correspondientes. Sobre esta base Marx se entrega al
análisis de la naturaleza de los símbolos y conceptos del cálculo diferencial.
Y en esos análisis, a la par de reflexiones de carácter puramente matemático –
y de resultados en el campo de la fundamentación del análisis matemático, entre
otros – se producen otras de contenido filosófico, por el vinculo objetivo
entre los conceptos de esta rama de las matemáticas y la dialéctica
materialista, entre el contenido de los conceptos del cálculo diferencial y la
dialéctica objetiva de los procesos por ellos representados. Ejemplo en esta
interacción filosofía – matemáticas se contribuye con singular fuerza a la
fundamentación teórica de la matematización del proceso del conocimiento
científico en general.
Muestra de estas reflexiones es lo que nos presenta Marx al
analizar los conceptos de “diferencial “, “infinitamente pequeño” , “límite”,
“función derivada”, la relación forma – contenido presente en los símbolos
utilizados en el cálculo diferencial, y en el propio proceso de desarrollo de
los conocimientos en esta rama de la ciencias, del cual extrae importantes
conclusiones gnoseológicas. En este trabajo nos referimos solamente a algunos
de estos aspectos.
Marx y el
cálculo diferencial
Marx, al profundizar en sus estudios del cálculo
diferencial, comienza por hacer un análisis histórico del desarrollo de este
método, desde las formas en que lo expusieron Newton y Leibniz, hasta las más
modernas que pudo conocer. En este estudio se encontró con que, en las
exposiciones de Newton y Leibniz que aún imperaban casi absolutamente en su
época, existía algo “místico” a la hora de obtener los resultados del proceso
de diferenciación de las funciones, aunque se llegaba a resultados matemática y
prácticamente correctos.
Es así, que se hace partidario del enfoque de D’Alembert
(quien, según palabras del propio Marx, “… arrancó del cálculo diferencial el
velo del misterio, con lo que dio un gran paso adelante”) aunque nota que este
enfoque no resuelve los problemas de la fundamentación del cálculo, y se
plantea formar su propio punto de vista.3 Para ello busca en las fuentes
bibliográficas a su alcance, y solo después de analizarlas críticamente elabora
sus conclusiones y prepara los dos trabajos fundamentales que aparecen en los
“Manuscritos…”, “Acerca del concepto del función derivada”/1,pp.28-45/ y
“Acerca del diferencial” /1,pp.46-75/, los cuales envía a Engels en 1881.
En relación con la fundamentación algebraica del proceso de
diferenciación propuesto por D’Alembert, Marx se encuentra con el concepto de
“límite” o “valor de límite”, concepto a su juicio expuesto
insatisfactoriamente. Por tal motivo, somete a critica las exposiciones del
concepto que encuentra en la literatura a su disposición y, aunque no llega a
preparar sus criticas en forma de trabajos como en los casos antes citados, sí
nos quedaron sus borradores, recogidos bajo los títulos “Acerca de la
diferencia de los términos ”límites” y “valor de límite” “/1,pp.212- 217/ y
“Comparación del método de D’Alembert con el método algebraico “
/1,pp.218-225/.
El concepto de límite funcional es uno de los más
importantes del análisis matemático. Pero en la época de Marx no estaba
enunciado con el rigor y la calidad con el que lo está hoy, reflejo de que aún
no se había llegado a un alto grado de comprensión de la esencia del proceso
por él reflejado. Marx plantea que en la literatura “… el concepto de valor de
límite puede ser interpretado y constantemente se interpreta incorrectamente”
/1,p.217/. En busca de una solución a este problema plantea sustituirlo por
otro termino, con otro contenido, que coincide en esencia con el concepto que
tenemos hoy de límite, a la vez que refleja la dialéctica del proceso de “paso
al límite” – fundamento indispensable para la comprensión de la dialéctica del
proceso de derivación – como ésta no aparecía en las exposiciones que Marx pudo
conocer.
En las obras consultadas por Marx el valor límite era
concebido en esencia metafísicamente, como los valores extremos del conjunto de
valores que puede tomar o tomaría la función. / 1,p.567/. Marx plantea no debe
entenderse así, que, visto de esta forma, el concepto de límite aplicado al
cálculo diferencial “… representa una puerilidad cuyo origen debe buscarse en
el primer método de cálculo místico y mistificante” /1,p.217/ (se refería a
Newton y Leibniz).
Marx propone añadir a la definición de límite algo que en
esencia lo lleva, matemáticamente, a la concepción moderna de límite y,
filosóficamente, introduce la dialéctica en el concepto, con lo cual es posible
fundamentar el valor de este concepto como operación matemática valida en el
estudio científico de la realidad objetiva: el límite es el valor hacia el cual
tiende la función “… sin que tenga por qué en algún momento coincidir su valor
con él”/1,p.215/.
Con esto se presenta el límite como el resultado de un
movimiento. Pero, como veremos al analizar el concepto de derivada –no es un
simple movimiento mecánico metafísicamente analizado. Se trata de un movimiento
que implica cambios cualitativos en la variable, que pasan inadvertidos para
quien somete a juicio el proceso solo con un criterio instrumental, pero no
para el análisis material dialéctico del proceso, que parten del principio
fundamental de la esencia del proceso matemático y por ende del concepto se
encuentra en la realidad objetiva que refleja.
Plantear el límite como algo ya existente, como valor que
pertenece al conjunto imagen de la función obligatoriamente desde el punto de
vista matemático empobrecía el concepto (no en todas las funciones existe un
límite con este requerimiento). Desde el punto de vista filosófico, no refleja
el desarrollo, no refleja el movimiento inherente del proceso de paso al
límite, el movimiento dialéctico de la variable en ese proceso. Por otra parte,
el límite, cuando existe, es un valor posible, en el sentido de posibilidad
dialéctico- materialista, con relación al proceso especifico de paso al límite;
pero no necesariamente es un valor posible de la función, como valor de esta,
independientemente del proceso a que sea sometida.
Plantear el concepto como se hacía en las obras criticadas
por Marx, es identificar lo posible de un proceso, con lo real de otro
totalmente distinto; lo posible de unas condiciones con el conjunto de
posibilidades en general, determinado por la naturaleza de la función; es
borrar las diferencias entre cualidades totalmente diferentes.
En el plano de la fundamentación objetiva del proceso de
matematización de la aprehensión científica de la realidad objetiva, el límite
como entonces era concebido, resultaba un eslabón débil.
El límite de una función en un punto, y el valor de la
función en ese punto aunque en determinados casos coinciden numéricamente, son
entes matemáticos totalmente diferentes, como resultados de diferentes formas
del modo matemático de expresar el complejo y multilateral proceso de
desarrollo existente en la realidad objetiva. Esto tiene que ser reflejado
conceptualmente en la concepción del proceso de paso al límite, en el concepto
del resultado de este proceso: el límite matemático. El límite implica
movimiento, desarrollo caracterizado por la “tendencia a “; conlleva un proceso
de negación dialéctica, dado la relación entre los valores de la función
durante el proceso de paso al límite y de la variable independiente, una
relación interna y necesaria, expresada por la propia dependencia funcional y
por la forma de llevar a cabo el proceso especifico de paso al límite.
En cuanto a los conceptos de “función derivada” y de
“diferencial” la situación se presenta mas compleja aún en la época pues
objetivamente influía todo lo relacionado con la interpretación del concepto de
límite, en lo que a la forma de exposición de D’Alembert . Pero, además, se
hallaban presentes problemas con otros conceptos como el de “incremento”, y los
propios conceptos fundamentales primarios de “variable”, “variable
independiente”, “variable dependiente”, y con el propio contenido del
tratamiento formal del proceso de derivación de funciones, con el contenido de
los símbolos utilizados, procedentes directamente del tratamiento “místico y
mistificante” de Newton y Leibniz.
Los orígenes del cálculo diferencial se remontan al siglo
XVII, cuando Pedro Fermat (1601- 1665) descubre un método para calcular los
máximos y mínimos de las funciones de una variable. En ese método, por la
carencia del concepto de límite, todo resulta artificioso y oscuro.
Luego de importantes aportes, relacionados con otros
problemas prácticos como la determinación de tangentes a curvas (problema que,
al igual que el de los extremos de las funciones sencillas, tiene sus
antecedentes en los griegos), hechos por Descartes, Huygens, Barrow y otros,
aparecen los decisivos trabajos de Newton y Leibniz, que por mucho tiempo
sentaron pauta en el tratamiento de los problemas relacionados con el cálculo
diferencial e integral. Estos enfoques eran los imperantes en la época de Marx,
como ya hemos señalado, y su característica mas importante para la conformación
objetiva del valor metodológico del nuevo método de cálculo, era la oscuridad
de su fundamentación, en la que todo se presentaba con un velo místico, como lo
califico Marx, ocultando el real contenido dialéctico del método, su vinculo
objetivo con la realidad material.
Marx destaca el contenido real del proceso de diferenciación
desde la primera pagina de su trabajo “Acerca del concepto de función
derivada”, cuando analiza el sentido de la razón de incrementos, en la que el
incremento de una variable “se hace cero”, - el de la variable independiente
que forma el divisor de la razón --, pero esto ocurre de modo y con un
contenido tales que se obtiene un resultado real:
“Al principio la suposición de un diferencia, y luego su presión conduce, de tal modo, literalmente a nada. Toda la dificultad en la comprensión de la operación diferencial “como en la compresión de la negación de la negación en general” se encierra precisamente en eso, en ver en qué ella se diferencia de tan simple procedimiento y como conduce por esto a resultados reales”/1,p.29/.
Marx no se limita a la banal constatación del vínculo entre
esta operación matemática y la negación dialéctica. En este señalamiento, y en
todo el análisis que a partir de esta idea plantea, devela el contenido
dialéctico de la operación, que hace de ella un procedimiento para desentrañar
el movimiento real en cualquier esfera de la realidad material y expresarlo
matemáticamente.
Una razón de incrementos “suprimida”, concebida simplemente
como hacer volver la variable incrementada a su valor original, no puede
conducir a un resultado real en este proceso de derivación; luego que se
establece el incremento de la variable independiente para desarrollar el
proceso de variación, la variable cambia cualitativamente, además del evidente
cambio cuantitativo, al igual que ocurre con la función incrementada. Se
desarrollan, y la “supresión” del incremento de la variable independiente, su
negación tiene que ser tal para recoger lo ocurrido a la variable y a la
función en la etapa anterior del proceso, que conduzca a cambios cualitativos
en los elementos involucrados. De lo contrario no expresa procesos que ocurren
en la realidad objetiva que se pretenden reflejar; tienen que ser una negación
dialéctica. Y tal negación dialéctica es posible únicamente si el proceso de
supresión del incremento se lleva a cabo como un proceso de “paso al límite”,
como plantea Marx esta operación, como en esencia se plantea en el cálculo
diferencia actual. Como resultado de la supresión del incremento se obtiene una
nueva función, la función derivada, y la variable independiente se encuentra en
“otras condiciones totalmente diferentes de las que se encontraba en la función
original” /1,p.37/
Todo esto se vincula muy orgánicamente con algunas de las
criticas que hace Marx a la notación del cálculo diferencial usadas en su
época, desde el punto de vista de la relación necesaria forma-contenido.
Aunque la notación de Leibniz es la que se ha conservado
hasta hoy, en la época de Marx todavía los términos y los símbolos en ella
utilizados eran interpretados como “magnitudes matemáticas de un genero
particular, diferentes de los números y las funciones matemáticas
corrientes”/1,p.10/. La notación de Leibniz se conservo porque, a diferencia de
la de Newton y del modo de proceder en el cálculo diferencial que él propone,
resulta más operativa. Pero requiere también de una adecuada interpretación y
para que no resulte algo “mágico” el hecho de que las magnitudes infinitamente
pequeñas divididas entre si – los diferenciales de órdenes superiores – se
obtengan nuevos resultados: las derivadas de órdenes superiores.
A esto se refiere Marx en su trabajo inicial “Acerca del
concepto de función derivada” cuando plantea:
“Los símbolos d/dx , d/2 dx2 , etc., indican solamente la genealogía de la “derivada” con relación a la función primitiva de x dada al principio. Ellos se convierten en misteriosos solo en el caso que se interpreten como punto de partida del movimiento, y no simplemente como expresiones de las funciones de x sucesivamente obtenidas. En este caso realmente parece asombroso, que la relación de algo que estuvo desapareciendo deba de nuevo pasar por más elevados grados de desaparición, en tanto que nadie se asombrara de que, por ejemplo, 3x2 puede pasar por el proceso de diferenciación tan exitosamente como su progenitora x3 . Y es que 3x2 se puede partir, como una función primitiva de x” /1, p.37/.
El símbolo usado para el proceso de derivación, no es una
simple forma, concebida metafísicamente, para ese proceso. El símbolo tiene un
contenido que es propio del desarrollo dialéctico que tiene lugar en el proceso
de diferenciación: expresa un movimiento en el que la variable sufre cambios y
negaciones sucesivas, de una forma particular. En esas negaciones, dialécticas
por su esencia, en las que media un proceso de paso al límite, hay
transformación de posibilidades en realidades, cuando existen las derivadas, y,
en determinadas condiciones, surgen nuevas posibilidades, determinadas por las
particularidades de la función en cuestión y asociadas todas entre sí por el vínculo
de la variable independiente.
Conclusiones
Los trabajos de Carlos Marx recogidos en los Manuscritos
Matemáticos, constituyen, sin duda alguna, una rica fuente para los estudios
para científicos y filósofos. Sobre todo, cuando nos enfrentamos al proceso de
matematización de las ciencias, el cual plantea necesariamente la
profundización constante en el contenido de los resultados de las matemáticas
como reflejo de la realidad objetiva, y el universal presente en el modo
matemático del reflejo de dicha realidad.
Desde el punto de vista matemático, al ver el rigor y la
profundidad con que Marx analizo la fundamentación y el alcance del cálculo
diferencial, tenemos que repetir con plena convicción las palabras de Engels en
el Anti Duhring : “Marx era un concienzudo matemático” . Pero no resulta
irrespetuoso añadir, que la profundidad de su pensar matemático tiene una
cualidad distintiva esencial, dictada por el contenido filosófico de su
búsqueda en los fundamentos conceptuales de lo especifico matemático.
Queda mucho por analizar en este sentido. Desde el valor que
tiene la forma en que Marx explica algunos conceptos y operaciones del cálculo
diferencial, hasta la plena valoración de los aportes estrictamente en los
matemáticos, contenido en los trabajos que, como se puede ver en los
manuscritos, no se limitan exclusivamente al cálculo diferencial.
Relacionado con esto salta a la vista durante el análisis de
los “Manuscritos…” algo que en cierta medida hemos apuntado en nuestro trabajo,
sin ser el centro de nuestra atención, y si consideramos que es uno de los
grande aportes de los clásicos del marxismo en beneficio directo del trabajo
científico en cualquier campo. Se trata del método de estudio de Carlos Marx al
abordar, en este caso, el contenido de las matemáticas.
Marx, consecuente con el método general de investigación que
le permitió, junto a Federico Engels, la formulación rigurosa de la doctrina
científica que justamente lleva su nombre, abordo el estudio de los temas
matemáticos que le interesaban de un modo critico, y sobre la base del análisis
de todo el desarrollo histórico anterior en ese campo. Esta forma de proceder
le permitió lo que otros, -matemáticos- , no habían encontrado, al seguir
consecuentemente el desarrollo dialéctico del establecimiento de los diferentes
enfoques sobre los problemas tratados. El análisis de ese desarrollo refleja el
modo en que el hombre alcanza los diferentes grados de penetración en la
esencia de la realidad estudiada y pone de manifiesto, a través de esto, el vínculo
objetivo entre los elementos de esa realidad. Esta forma de proceder es
indispensable para todo el trabajo científico. Pero, como muestra Marx con su
labor, resulta sobre todo de importancia cuando se trata de penetrar en los
fundamentos de una ciencia para hacer más poderosa la interpretación de ella
con otras ramas del quehacer científico.
Los análisis de Marx que se recogen en los “Manuscritos…” son una muestra de la
riqueza que existe en la interacción consecuente del Materialismo Dialéctico
con una ciencia particular. Y subrayamos lo de consecuente, porque no se trata
de la mecánica de aplicación de las leyes y categorías filosóficas al campo de
acción de las matemáticas, que no podría redundar en otra cosa que un
empobrecimiento del propio pensamiento filosófico y científico; no se trata en
modo alguno de negar la especificidad de cada ciencia, de borrar las
diferencias esenciales entre ellas y con respecto a la filosofía, debidas en el
fundamento a los diferentes objetos de estudio.
Se trata de una muestra de la estrecha unidad entre la
filosofía materialista dialéctica y las ciencias particulares; de cómo se
manifiestan los nexos dentro de los elementos del objeto de estudio de la
ciencia particular, de como se descubre el nexo entre ellos y de esos elementos
con los conceptos y las leyes elaborados por el hombre como resultado de la
profundización en develar la esencia del objeto en cuestión, en tanto
concreción de lo universal que revela y expresa la filosofía.
Descubrir esto es precisamente lo que hace Marx durante sus
estudios matemáticos, y como resultado nos brinda una profunda muestra más de
la fuerza del pensar materialista dialéctico en la aprehensión de la realidad
objetiva; y , a la vez , de la objetividad de una ciencia que, por su elevado
grado de abstracción a dado pie en algunas ocasiones a interpretaciones
subjetivistas de sus métodos y resultados, o , cuando menos, a enfoques que
empobrecen sus posibilidades como soporte del progreso de la actividad
científica en los diferentes campos particulares.
Los Manuscritos Matemáticos de Carlos Marx – que vieron la
luz publica por primera vez hace casi 100 años, y aún no han sido publicados en
Español – constituyen un tesoro incalculable para todos los que se dedican al
estudio de relación entre la filosofía y las ciencias particulares y, a partir
de ello, de la relación entre las diferentes formas del proceso del
conocimiento científico entre sí; en particular – para la estudio del proceso
de matematización de las ciencias, por lo que en los trabajos y apuntes allí
recogidos se aporta la forma de penetrar en la comprensión de las matemáticas
como reflejo de la realidad objetiva, a través de lo universal presente en el
modo matemático del reflejo de esa realidad. Se trata de los trabajos a los que
ineludiblemente tendremos que recurrir mucho más, para profundizar en la
naturaleza y posibilidades del proceso de penetración de las matemáticas en las
ciencias contemporáneas, proceso que conforma un rasgo esencial de la etapa
actual del desarrollo científico.
Referencias
bibliográficas del texto
1- Marx,C.-“Carlos Marx. Manuscritos Matemáticos”. Edición
Bilingüe alemán-ruso. Editorial Nauka, Moscú, 1968.
2- Engels,F. – Anti Duhring. Editorial Ciencias Sociales, La
Habana, 1975.
3- ----------- Dialéctica de la Naturaleza. Editorial
Política, La Habana, 1979.
4- Sobre aspectos históricos de las matemáticas : Dampier,
Sir William – A history of science. Cambridge: At the University Press;
- New York:The Macmillan Company,
1946. “IstoriaMatematiki”-
Editorial Nauka, Moscú, 1972. Tomo III (en ruso).
- Rinnikov,
K. – Historia de las matemáticas. Editorial MIR, Moscú, 1987.
- Pastor,J.R.
– et. al. – Análisis Matemático, Tomo I, Editorial Revolucionaria, La Habana,
1967.
- Isaac
Newton. – Análisis por las series, las fluxiones y las diferencias de las cantidades
con enumeración de las líneas del Tercer Orden. Editado por W. Jones,
Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México, 1975.
- Turnbull,
Herbert W. – GrandesMatemáticos. Colección Vulcano, Editorial Científico-
Técnica, Ciudad de la Habana, 1986.
Notas
1 Ver el Prólogo a la obra “Carlos Marx .Manuscritos
Matemáticos”, escrito por la profesora S.A.Yanovskaya, p.6.
2 Engels se refiere a esto cuando subraya la profundidad de
los estudios de Marx en el campo de las ciencias naturales y declara su
intención de “reunir y editar los resultados obtenidos, tal vez en unión de los
trabajos matemáticos importantísimos que ha legado Marx”/2,p.16/.
3 “En la historia de la fundamentación de las operciones del
cálculo diferencial Marx distingue tres periodos: el cálculo diferencial
mistico – siglo XVII , el tiempo de Newton Leibniz; e cálculo diferencial
racional – siglo XVIII – tiempo desde los trabajos D’Alembert y Euler; el
cálculo diferencial puramente algebraico – final del siglo XVIII – principio
del XIX , Lagrange. La periodización de Marx responde a las cuestiones de
principio de la historia del Análisis Matematico”. Ver:”La matemática en la
obra de Carlos Marx”, revista “Priroda“ No. 5, 1984, p.14, de la autora
soviética Z. A. Kuzícheva.
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